1950-2007..

1950-2007..

Matematikenshistoria Tiden 1950-2007 Kaosteorin 1980-talet, matematisktbegrepp Finns i vdrets skiftningar, i forsens

strmmar, i olika virus kning och tillbakagng och i aktiekursernas vxlingar. Kaos innebr att talen i talfljden inte kommer att stlla in sig i ngot stabilt lge dr processen r periodisk.

Talen kommer istllet att hoppa omkring p ett kaotiskt stt, utan ordning. Sm frndringar i begynnelsevillkor kan snabbt leda till oplanerade katastrofer. Ex. vdret - r delvis frutsgbart. Om ngon nyser i New York, s blir det

orkan i Stilla havet. Vderprognoser En meteorolog behver ekvationer som s exakt som mjligt beskriver alla rrelser i atmosfren fr att kunna ge en trovrdig vderlek.

Markstationer Flygplan Vderballonger Fartyg Satelliter

Vderprognoser Det behvs fyra ekvationer fr att beskriva det viktigaste av vad som hnder i atmosfren under en viss tid. Vderprognoser fr ett r framt. Vderprognoser

Vi kommer aldrig att kunna gra lngre vderprognoser eftersom de r s knsliga fr begynnelsevrden. Grnsen gr vid 14 dagar. Kaosteorimetoden Anvnds fr att kunna rkna ut

oregelbundna freteelser som ex. vdret, aktiekurser och strmmar osv.. Katastrofteori Beskriver hur stabila avbildningar ser ut nra en singulr punkt dr frsta

ordningens derivata r noll. Istllet fr katastrof, s kan man sga singularitet. Beskriver fasvergngar vid t.ex. celldelning. Ren Thom (1923-2002)

En av grundarna till katastrofteorin. Fieldsmedaljen r 1958 Yuri Matiyasevich (1947 St.Petersburg

Skola (CETb 239) -63 Boarding school ("internat") #18 at

Moscow State University -64 Yuri Matiyasevich (1947St.Petersburg Deparment of Mathematics and

Mechanics of Leningrad State University. -69 LOMI, Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics.

Yuri M Doktorerade Hilberts Skrivit Bl.a.

med ----- 10:e problem 60-tal arbeten och bcker, Hilberts tenth Problem

Utnmningar 1996 Belnades med titeln, Docteur Honoris Causa de l'Universit

d'Auvergne, France. Utnmningar 1997 Valdes till correspondent member

of the Russian Academy of Sciences. Utnmningar 1998 Tilldelad, Humboldt Research

Award to Foreign Scholars. Medlem i LLAIC, Laboratoire de Logique, Algorithmique et Informatique de Clermont 1, France.

Medlem i St.Petersburg Mathematical Society, currently Vice-President (elected in 1998) Medlem i

American Mathematical Society; --Association for Symbolic Logic. Medlem i Editorial and Advisory Boards:

-- Journal "Discrete Mathematics and Applications"; Medlem i Publishing House PHASIS; -- Journal "Computer Instruments in

Education". Hilberts 10:e problem Godtycklig diofantisk ekvation Problem

stllt av Hilbert: Gr det att skriva en algoritm som fr en godtycklig

diofantisk ekvation kan avgra om det finns ngon lsning till densamma? Matiyasevichs

svar: NEJ. Fr speciella diofantiska ekvationer

tex de linjra och de kvadratiska med tv obekanta finns det dock knda algoritmer. Enkelt

Heltalslsning med, 3 x 5 y 18t 7 0 Euklides algoritm Succesiva divisioner. Svrare

2 2 x y a a 1, ( x, y ) (1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1). a 2,3,4, (inga _ lsningar )

a 5, ( fyra _ lsningar ) Svrare 2 4

x 1 2 y 2 _ lsningar ( x, y ) (1,1) och ( x, y ) (239,13) Svrare

2 2 x 94 y 1 ( x, y ) (2143295,221064),

2 2 x 94 y 1 saknar _ lsning

Svrare Och Svrare Pytagoras 2 2

x y z 2 Svrare Och Svrare Fermat

Andrew Wiles 1995 n n n (lsning)

x y z n 3, ? Martin Davis, Julia Robinson,

Icke-kommutativ geometri ? Alain Connes 1947-

Aim Berth Prize French Academy of Sciences (1975). Peccot-Vimont Prize of the College of France (1976). Alain Connes 1947-

CNRS Silver Medal (1977). Ampre Prize of the French Academy of Sciences (1980). Alain Connes 1947 Fields Medalj (1982). Clay Research Award (2000). Crafoord Prize (2001).

CNRS Gold Medal (2004). Alain Connes 1947 Field Medalj 1982 Bidragit med teorier fr operator algebras, Srskilt fr de generella klassifikationer och struktur teoremen av factorer av typ III.

Alain Connes 1947 Clay Research Award (2000). Fr revulotinrt arbete inom fltet fr operator algebras. Fr att ha uppfunit modern Icke Kommutativ geometri, framfralt fr att ha upptckt att dessa ider frekommer

verallt, inrknat grundandet av teoretisk fysik (theoretical physics) Alain Connes 1947 Crafoord Prize (2001). Alain Connes rknas som en av vrdens frmsta matematiker. Han har bidragit med nya och unika tankar

till teorierna om operator algebras och Icke-kommutativ geometri. Det senare ett nytt omrde inom matematiken dr Alain Connes spelat en avgrande roll. Alain Connes 1947 Icke-kommutativ geometri a gnger b inte r samma som b gnger a

Icke kommutativa geometrier har p senare tid visat sig anvndbara fr att lsa problem inom kvant- och partikelfysik. ? Icke kommutativ

Inte helt enkelt.. Kryptering Matematik samhllet >, kontokort osv...

Kryptering Colossus 1943 (1500 elektronrr) Kryptering

Colossus Rekonstruerad 1994 Kryptering ENIAC 1945

(18000 elektronrr) Kryptering 1947 Transistorn Elekronrr 1951 Ferranti Datorn blir Handelsvara 1953 IBM skapar Fortran anvndandet. 1960 Datorerna, Billigare, Kraftfullare

Kryptering 1970 Lucifer IBM krypteringssystem 1973 (NBS) National Bureau of Standards 1976 (DES) Data Encryption standard Kryptering

Nyckel distribution, ombud, ordonnanser. COMSEC, Communications Security Whitfild Diffie 1944 Bachelor of Science, matematik 1965 Datorskerhet Oberoende skerhetsexpert

Whitfild Diffie 1944 Kryptopunkare Anteckningsboken mlinriktad - visioner ARPA 1969 Advesed Research Projects Agensy Fder Internet 1982

Whitfild Diffie 1944 New Directions in Cryptography 1976 Martin Edward Hellman (1945 Bachelor's degree 1966 Master's degree 1967 Ph.D. in 1969 Martin Edward Hellman (1945

IBM's Watson Research Center (1968-69) assistant professor at MIT Professor, Stanford 1971-1996

Professor Emeritus Ralph C. Merkle (1952 Bachelor's degree 1974 M.S. 1976 Doctor of Philosophy 1979 Ralph C. Merkle (1952 Utv.Datorprogram 1980-88

Xerox PARC 1988-99 Zyvex nanoteknologi 1999-03 Professor Hgre utbildning 2003- Krypto DHM Diffie

Hellman DHM 1976 Merkle Matematiska funktioner

Tvvgs (reversibel) funktion Envgs (ickereversibel) funktion Aritmetikens modulra former (aritmetiska ringar) Alice

Bob Krypto DHM 1976 Alice och Bob verens om g och p x

p g (mod ) Krypto DHM 1976 Alice vljer ett hemligt vrde p a Berknar A med formeln

a Hon skickar A till Bob A g (mod p ) Bob gr detsamma och med b och skickar B till Alice

b B g (mod p ) Krypto DHM 1976 Alice anvnder Bobs B i formeln a

K B (mod p ) Och fr vrde, K Bob gr dessama med A och fr, K med samma vrde b

K A (mod p ) Krypto DHM 1976 a b

K ( g (mod p )) (mod p ) b a ( g (mod p )) (mod p )

Kod-Nyckeln Kunde nu skickas krypterad Problem: tiden Lsning

Ronald Linn Rivest (1947 Bachelor's degree 1969 Ph.D. Computer Science 1974 Leonard Max Adleman (1945 BA mathematics 1968 Ph.D. EECS 1976. Myntade utrycket virus

I datorvrlden Adi Shamir (1952 BS Mathematk 1973 PhD Computer Science 1975 RSA-krypteringen 1977 RSA anvnder tv nycklar, en publik

nyckel och en privat nyckel. Den publika nyckeln krypterar. Den privata nyckeln dekrypterar RSA-krypteringen -77 Mottagaren bestmmer bde den publika och den privata nyckeln

Publika nyckeln i Katalogen RSA nycklar r stora heltal. RSA-krypteringen -77 Nyckel tillverkning

RSA-krypteringen 1. Vlj mycket stora primtal, p och q . 2. Multiplicera drefter p och q produkten n. 3. Vlj heltal, e s att e och (p-1)(q-1) r relativt prima och 1 < e < (p-1)(q-1) . 4. Berkna slutligen ett heltal d sdant att ed 1 (mod (p-1)(q-1)).

RSA-krypteringen Den publika nyckeln e och n Den privata nyckeln d och n. RSA-krypteringen Finessen: e och n r knda, men

primfaktorerna p och q, gr inte att rkna ut inom rimlig tid Det finns inte ngon effektiv algoritm fr primtalsfaktorisering. Gr inte att rkna ut d. Endast mottagaren knner p, q och d och kan avkoda meddelandet.

Exempel RSA-krypteringen Kryptering Den publika nyckeln e och n Fr varje x berknas talet y

e y x (mod n ) Talet y r det krypterade meddelandet.

RSA-krypteringen Dekryptering privat nyckeln d och n. d x y (mod n )

RSA-krypteringen 2002 ACM Turing Award Andrew Wiles Blandas ofta ihop med Andr Weil

(1906-1998) Andrew Wiles 1953 - Andrew Wiles

En av vrldens frmsta talteoretiker Lste Fermats stora sats Redan som tio-ring blev han fngslad av Fermats stora sats. Fermats stora sats: Det finns inte ngra positiva heltal

a, b och c som r lsningar till ekvationen an + bn = cn, d n r strre n 2. Frskte hitta misstag i tidigare resonemang. resultatlst Professor i matematik

Specialiserade sig p elliptiska ekvationer. Studerade i hemlighet om satsen. Gjorde flera stora matematiska upptckter men han publicerade ingen av dem innan

han publicerade beviset fr satsen. Tog hjlp av matematikern Nick Katz I juni 1993, internationell konferens inom matematik. Ansg att detta var det rtta tillfllet att publicera beviset.

Nyheten spreds ver vrlden. Det visade sig att det fanns vissa brister i de matematiska utrkningarna. Upplevde en stor press p sig sjlv. Wiles tog denna gng hjlp av sin fre detta student Richard Taylor fr att fixa

till beviset. Den nittonde september r 1995 kom Wiles ntligen p den rtta lsningen!! En kombination av iwasawateori och Kolyvagin-Flachs metod.

Publicerades i Annals of Mathematics Bl.a. Wolfpriset i matematik i mars r 1996. Neumann Bernhard Hanna

Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Doktorerade Berlin 1932 Ph.D. Cambridge 1935 Militr 1940-1946

Undervisning 1946 Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Professorstjnst Australien1961 Grupp teori (definitioner fr grupp tillhrigheter)

Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 "Can each variety be defined by a finite set of laws?". Nej Ol'sanskii 1969

Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Han hade stor betydelse fr den hgre matematik utbildningen i Australien och Nya Zeeland (Jo)Hanna Neumann

1914 - 1971 D.Phil Oxford 1944 Professor och hgt ansvarig fr hgre utbildning i 1964-71. Fem barn (alla har hg utbildning) (Jo)Hanna Neumann

1914 - 1971 Undervisning och forskning England 1946-63. 1969 Medlem av Australian Academy of Science (FAA) Dog under en frelsnings turn

Recently Viewed Presentations

  • Using Search Functionality Using Search Functionality This tutorial

    Using Search Functionality Using Search Functionality This tutorial

    Using Search Functionality Step 5 The zzusis portal has sent you to your desired information or function, in a new browser window or tab. If you have additional questions, please refer to the other zzusis portal training guides or call...
  • Ancient Greece

    Ancient Greece

    ANCIENT GREECE - BACKGROUND. The Greek gods differed from those of Egyptian and Mesopotamian deities -> immortal but otherwise human -> " the Greeks made their gods into humans and their humans into gods"
  • It is important to make a good password.

    It is important to make a good password.

    It is important to make a good password. ... People just flat out asking you to sign in so they can "test" the system . ... ANY word in English. ANY word in ANY language . Non words that have...
  • Chapter 9

    Chapter 9

    Why are there two account titles in the amount column of the purchases journal? A) All purchases on account involve a debit to Purchases and a credit to Accounts Payable. B) All sales on account involve a debit to Purcahses...
  • Hair Loss - bums.ac.ir

    Hair Loss - bums.ac.ir

    Hair Loss and Treatment M. Ansari Hair Loss Natural shedding of hair accounts for normal daily hair loss. Recent measurements indicate that the average rate of hair loss is closer to 35 to 40 hairs per day Alopecia Abnormal hair...
  • Παρουσίαση του PowerPoint

    Παρουσίαση του PowerPoint

    Μέσω της κυτταρικής μεμβράνης γίνεται συνεχής ανταλλαγή μορίων νερού με το περιβάλλον Ορισμός ενεργότητας νερού (aw) αw = p/ po p = πίεση ατμών του διαλύματος po = πίεση ατμών του διαλύτη σχέση με ...
  • CHOICES FOR NINE - Toronto District School Board

    CHOICES FOR NINE - Toronto District School Board

    Toronto District School Board CHOICES FOR NINE THE TRANSITION ... Program recommendations are discussed during the spring IPRC English Language Learners ESL/ELD students who may be working on a modified program and may not be meeting grade level curriculum expectations...
  • Inflammation (4 of 5)

    Inflammation (4 of 5)

    -arteriolar dilation-increased vascular permeability-bronchial smooth muscle contraction-pain. Short-acting…rapidly degraded by kininases in plasma and tissues. The clotting system. Factor Xa… -increased vascular permeability-chemotaxis. Thrombin…- Binds to "protease-activated receptors ...