Matematikenshistoria Tiden 1950-2007 Kaosteorin 1980-talet, matematisktbegrepp Finns i vdrets skiftningar, i forsens
strmmar, i olika virus kning och tillbakagng och i aktiekursernas vxlingar. Kaos innebr att talen i talfljden inte kommer att stlla in sig i ngot stabilt lge dr processen r periodisk.
Talen kommer istllet att hoppa omkring p ett kaotiskt stt, utan ordning. Sm frndringar i begynnelsevillkor kan snabbt leda till oplanerade katastrofer. Ex. vdret - r delvis frutsgbart. Om ngon nyser i New York, s blir det
orkan i Stilla havet. Vderprognoser En meteorolog behver ekvationer som s exakt som mjligt beskriver alla rrelser i atmosfren fr att kunna ge en trovrdig vderlek.
Markstationer Flygplan Vderballonger Fartyg Satelliter
Vderprognoser Det behvs fyra ekvationer fr att beskriva det viktigaste av vad som hnder i atmosfren under en viss tid. Vderprognoser fr ett r framt. Vderprognoser
Vi kommer aldrig att kunna gra lngre vderprognoser eftersom de r s knsliga fr begynnelsevrden. Grnsen gr vid 14 dagar. Kaosteorimetoden Anvnds fr att kunna rkna ut
oregelbundna freteelser som ex. vdret, aktiekurser och strmmar osv.. Katastrofteori Beskriver hur stabila avbildningar ser ut nra en singulr punkt dr frsta
ordningens derivata r noll. Istllet fr katastrof, s kan man sga singularitet. Beskriver fasvergngar vid t.ex. celldelning. Ren Thom (1923-2002)
En av grundarna till katastrofteorin. Fieldsmedaljen r 1958 Yuri Matiyasevich (1947 St.Petersburg
Skola (CETb 239) -63 Boarding school ("internat") #18 at
Moscow State University -64 Yuri Matiyasevich (1947St.Petersburg Deparment of Mathematics and
Mechanics of Leningrad State University. -69 LOMI, Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics.
Yuri M Doktorerade Hilberts Skrivit Bl.a.
med ----- 10:e problem 60-tal arbeten och bcker, Hilberts tenth Problem
Utnmningar 1996 Belnades med titeln, Docteur Honoris Causa de l'Universit
d'Auvergne, France. Utnmningar 1997 Valdes till correspondent member
of the Russian Academy of Sciences. Utnmningar 1998 Tilldelad, Humboldt Research
Award to Foreign Scholars. Medlem i LLAIC, Laboratoire de Logique, Algorithmique et Informatique de Clermont 1, France.
Medlem i St.Petersburg Mathematical Society, currently Vice-President (elected in 1998) Medlem i
American Mathematical Society; --Association for Symbolic Logic. Medlem i Editorial and Advisory Boards:
-- Journal "Discrete Mathematics and Applications"; Medlem i Publishing House PHASIS; -- Journal "Computer Instruments in
Education". Hilberts 10:e problem Godtycklig diofantisk ekvation Problem
stllt av Hilbert: Gr det att skriva en algoritm som fr en godtycklig
diofantisk ekvation kan avgra om det finns ngon lsning till densamma? Matiyasevichs
svar: NEJ. Fr speciella diofantiska ekvationer
tex de linjra och de kvadratiska med tv obekanta finns det dock knda algoritmer. Enkelt
Heltalslsning med, 3 x 5 y 18t 7 0 Euklides algoritm Succesiva divisioner. Svrare
2 2 x y a a 1, ( x, y ) (1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1). a 2,3,4, (inga _ lsningar )
a 5, ( fyra _ lsningar ) Svrare 2 4
x 1 2 y 2 _ lsningar ( x, y ) (1,1) och ( x, y ) (239,13) Svrare
2 2 x 94 y 1 ( x, y ) (2143295,221064),
2 2 x 94 y 1 saknar _ lsning
Svrare Och Svrare Pytagoras 2 2
x y z 2 Svrare Och Svrare Fermat
Andrew Wiles 1995 n n n (lsning)
x y z n 3, ? Martin Davis, Julia Robinson,
Icke-kommutativ geometri ? Alain Connes 1947-
Aim Berth Prize French Academy of Sciences (1975). Peccot-Vimont Prize of the College of France (1976). Alain Connes 1947-
CNRS Silver Medal (1977). Ampre Prize of the French Academy of Sciences (1980). Alain Connes 1947 Fields Medalj (1982). Clay Research Award (2000). Crafoord Prize (2001).
CNRS Gold Medal (2004). Alain Connes 1947 Field Medalj 1982 Bidragit med teorier fr operator algebras, Srskilt fr de generella klassifikationer och struktur teoremen av factorer av typ III.
Alain Connes 1947 Clay Research Award (2000). Fr revulotinrt arbete inom fltet fr operator algebras. Fr att ha uppfunit modern Icke Kommutativ geometri, framfralt fr att ha upptckt att dessa ider frekommer
verallt, inrknat grundandet av teoretisk fysik (theoretical physics) Alain Connes 1947 Crafoord Prize (2001). Alain Connes rknas som en av vrdens frmsta matematiker. Han har bidragit med nya och unika tankar
till teorierna om operator algebras och Icke-kommutativ geometri. Det senare ett nytt omrde inom matematiken dr Alain Connes spelat en avgrande roll. Alain Connes 1947 Icke-kommutativ geometri a gnger b inte r samma som b gnger a
Icke kommutativa geometrier har p senare tid visat sig anvndbara fr att lsa problem inom kvant- och partikelfysik. ? Icke kommutativ
Inte helt enkelt.. Kryptering Matematik samhllet >, kontokort osv...
Kryptering Colossus 1943 (1500 elektronrr) Kryptering
Colossus Rekonstruerad 1994 Kryptering ENIAC 1945
(18000 elektronrr) Kryptering 1947 Transistorn Elekronrr 1951 Ferranti Datorn blir Handelsvara 1953 IBM skapar Fortran anvndandet. 1960 Datorerna, Billigare, Kraftfullare
Kryptering 1970 Lucifer IBM krypteringssystem 1973 (NBS) National Bureau of Standards 1976 (DES) Data Encryption standard Kryptering
Nyckel distribution, ombud, ordonnanser. COMSEC, Communications Security Whitfild Diffie 1944 Bachelor of Science, matematik 1965 Datorskerhet Oberoende skerhetsexpert
Whitfild Diffie 1944 Kryptopunkare Anteckningsboken mlinriktad - visioner ARPA 1969 Advesed Research Projects Agensy Fder Internet 1982
Whitfild Diffie 1944 New Directions in Cryptography 1976 Martin Edward Hellman (1945 Bachelor's degree 1966 Master's degree 1967 Ph.D. in 1969 Martin Edward Hellman (1945
IBM's Watson Research Center (1968-69) assistant professor at MIT Professor, Stanford 1971-1996
Professor Emeritus Ralph C. Merkle (1952 Bachelor's degree 1974 M.S. 1976 Doctor of Philosophy 1979 Ralph C. Merkle (1952 Utv.Datorprogram 1980-88
Xerox PARC 1988-99 Zyvex nanoteknologi 1999-03 Professor Hgre utbildning 2003- Krypto DHM Diffie
Hellman DHM 1976 Merkle Matematiska funktioner
Tvvgs (reversibel) funktion Envgs (ickereversibel) funktion Aritmetikens modulra former (aritmetiska ringar) Alice
Bob Krypto DHM 1976 Alice och Bob verens om g och p x
p g (mod ) Krypto DHM 1976 Alice vljer ett hemligt vrde p a Berknar A med formeln
a Hon skickar A till Bob A g (mod p ) Bob gr detsamma och med b och skickar B till Alice
b B g (mod p ) Krypto DHM 1976 Alice anvnder Bobs B i formeln a
K B (mod p ) Och fr vrde, K Bob gr dessama med A och fr, K med samma vrde b
K A (mod p ) Krypto DHM 1976 a b
K ( g (mod p )) (mod p ) b a ( g (mod p )) (mod p )
Kod-Nyckeln Kunde nu skickas krypterad Problem: tiden Lsning
Ronald Linn Rivest (1947 Bachelor's degree 1969 Ph.D. Computer Science 1974 Leonard Max Adleman (1945 BA mathematics 1968 Ph.D. EECS 1976. Myntade utrycket virus
I datorvrlden Adi Shamir (1952 BS Mathematk 1973 PhD Computer Science 1975 RSA-krypteringen 1977 RSA anvnder tv nycklar, en publik
nyckel och en privat nyckel. Den publika nyckeln krypterar. Den privata nyckeln dekrypterar RSA-krypteringen -77 Mottagaren bestmmer bde den publika och den privata nyckeln
Publika nyckeln i Katalogen RSA nycklar r stora heltal. RSA-krypteringen -77 Nyckel tillverkning
RSA-krypteringen 1. Vlj mycket stora primtal, p och q . 2. Multiplicera drefter p och q produkten n. 3. Vlj heltal, e s att e och (p-1)(q-1) r relativt prima och 1 < e < (p-1)(q-1) . 4. Berkna slutligen ett heltal d sdant att ed 1 (mod (p-1)(q-1)).
RSA-krypteringen Den publika nyckeln e och n Den privata nyckeln d och n. RSA-krypteringen Finessen: e och n r knda, men
primfaktorerna p och q, gr inte att rkna ut inom rimlig tid Det finns inte ngon effektiv algoritm fr primtalsfaktorisering. Gr inte att rkna ut d. Endast mottagaren knner p, q och d och kan avkoda meddelandet.
Exempel RSA-krypteringen Kryptering Den publika nyckeln e och n Fr varje x berknas talet y
e y x (mod n ) Talet y r det krypterade meddelandet.
RSA-krypteringen Dekryptering privat nyckeln d och n. d x y (mod n )
RSA-krypteringen 2002 ACM Turing Award Andrew Wiles Blandas ofta ihop med Andr Weil
(1906-1998) Andrew Wiles 1953 - Andrew Wiles
En av vrldens frmsta talteoretiker Lste Fermats stora sats Redan som tio-ring blev han fngslad av Fermats stora sats. Fermats stora sats: Det finns inte ngra positiva heltal
a, b och c som r lsningar till ekvationen an + bn = cn, d n r strre n 2. Frskte hitta misstag i tidigare resonemang. resultatlst Professor i matematik
Specialiserade sig p elliptiska ekvationer. Studerade i hemlighet om satsen. Gjorde flera stora matematiska upptckter men han publicerade ingen av dem innan
han publicerade beviset fr satsen. Tog hjlp av matematikern Nick Katz I juni 1993, internationell konferens inom matematik. Ansg att detta var det rtta tillfllet att publicera beviset.
Nyheten spreds ver vrlden. Det visade sig att det fanns vissa brister i de matematiska utrkningarna. Upplevde en stor press p sig sjlv. Wiles tog denna gng hjlp av sin fre detta student Richard Taylor fr att fixa
till beviset. Den nittonde september r 1995 kom Wiles ntligen p den rtta lsningen!! En kombination av iwasawateori och Kolyvagin-Flachs metod.
Publicerades i Annals of Mathematics Bl.a. Wolfpriset i matematik i mars r 1996. Neumann Bernhard Hanna
Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Doktorerade Berlin 1932 Ph.D. Cambridge 1935 Militr 1940-1946
Undervisning 1946 Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Professorstjnst Australien1961 Grupp teori (definitioner fr grupp tillhrigheter)
Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 "Can each variety be defined by a finite set of laws?". Nej Ol'sanskii 1969
Bernhard Hermann Neumann 1909 - 2002 Han hade stor betydelse fr den hgre matematik utbildningen i Australien och Nya Zeeland (Jo)Hanna Neumann
1914 - 1971 D.Phil Oxford 1944 Professor och hgt ansvarig fr hgre utbildning i 1964-71. Fem barn (alla har hg utbildning) (Jo)Hanna Neumann
1914 - 1971 Undervisning och forskning England 1946-63. 1969 Medlem av Australian Academy of Science (FAA) Dog under en frelsnings turn
