7. Ecuaciones de Fresnel FisicaC - fi.mdp.edu.ar

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Ecuaciones de Fresnel para la reflexin y refraccin Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interface Coeficientes de reflexin y transmisin Ecuaciones de Fresnel Angulo de Brewster Reflexin total interna Plano de incidencia y la interface con el medio Definicin Perpendicular (S) la polarizacin apunta hacia afuera del plano de incidencia. Medio de incidencia ki (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incedente y reflejado. Paralelo (P) La polarizacin sigue paralelo al plano de incidencia. Er Ei Plano de incidencia

kr ni i r Interface Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page) y z t x Et kt Medio de transmisin nt Notacin simplificada para los estados de polarizacin Perpendicular (S) Esta polarizacin se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia. Paralelo (P) Esta polarizacin est paralela al plano de incidencia

Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fraccin de la luz de la onda refejada y transmitida por la interface entre los dos medios con distinto ndice de refraccin. Fresnel fu el primero que hizo ste clculo. Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo elctrico y magntico de la ondas i,r,t para el caso S primero. ki Bi Er Ei Interface El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia kr ni Br i r

y z t Et Bt kt x nt Condiciones de contorno para el campo Elctrico en la interface La componente tangential del campo elctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Surge que, todos los campos E estn en la direccin z, que es e plano (xz) de la interface, As: ki Bi Er

Ei y x z kr Br i r ni Interface t Et Bt kt Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t) nt Condiciones de contorno para el campo magntico en la interface y x z

La componente tangencial del campo magntico es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B estn en el plano x-y, de las que tomamos la componente x: ki Er Ei i Bi i i r kr Br ni Interface t Et Bt kt

nt Bi(x, y = 0, z, t) cos(i) + Br(x, y = 0, z, t) cos(r) = Bt(x, y = 0, z, t) cos(t) Reflexin y Transmisin de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: E0i E0 r E0 t B0i cos(i ) B0 r cos( r ) B0t cos(t ) But y i r : Si B E /(c0 / n) nE / c0 and ni ( E0 r E0i ) cos(i ) nt E0t cos(t ) Substituting for E0t using por E0i E0 r E0t : Sustituyendo ni ( E0 r E0i ) cos(i ) nt ( E0 r E0i ) cos(t ) Coficientes de Reflexin y Transmisin para luz polarizada perpendicularmente Rearranging ni ( E0 r E0i ) cos(i ) nt ( E0 r E0i ) cos(t ) obtenemos yields: reacomodando : E0 r ni cos( i ) nt cos( t ) E0i ni cos(i ) nt cos(t ) Solving for E0 r / E0i obtenemos yields the reflection coefficient : Resolviendo el coeficiente de reflexin:

r E0 r / E0i ni cos( i ) nt cos( t ) / ni cos( i ) nt cos( t ) transmission coefficient, E0t / E0i , es: is EnAnalogously, forma anloga the el coeficiente de transmisin t E0t / E0i 2ni cos( i ) / ni cos( i ) nt cos( t ) Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente Ecuaciones de Fresnel Campo elctrico paralelo ki Bi Interface Geometra de los Rayor para luz polarizada con el campo elctrico fi paralelo al plano de incidencia Ei Br kr Er

i r t Bt Et kt Campo Bentrante en la pgina. y z ni nt Notar que magntico debe hacia la pantalla para lograr el campo que E B k. x Coeficiente de Reflexin y Transmisin para E paralelo (P) al plano de incidencia For parallel polarized light,al PI para luz polarizada paralela and

y B0i - B0r = B0t E0icos(i) + E0rcos(r) = E0tcos(t) calculamos y obtenemos el coef coefficient, de reflexin Solving for E0r / E0i yields the reflection r||: r|| E0 r / E0i ni cos(t ) nt cos(i ) / ni cos(t ) nt cos(i ) En forma anloga coeficiente de transmisin Analogously, the el transmission coefficient, t|| = E0t / E0i, es: t|| E0t / E0i 2ni cos(i ) / ni cos(t ) nt cos(i ) Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente. Coeficiente de Reflexin y Transmisin para una interface Aire-Vidrio naire 1 < nvidrio 1.5

Hay reflexin total para = 90 para ambas polarizaciones Reflexin cero para polarizacin paralela en el ngulo de Brewster (56.3 para los valores de ni y nt). (Para valores difrerentes de los ndices de refraccin, el ngulo de Brewster ser diferente.) Coeficiente de Reflexion, r Note que: 1.0 ngulo de Brewster .5 r||=0! r|| 0 r -.5 -1.0 0

30 60 ngulo de Incidencia, i 90 nvidrio 1.5 > naire 1 Note que : Ocurre refexin total interna por encima del ngulo crtico " crtico arcsin(nt /ni) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!) Coeficiente de Reflecxin, r Coeficiente de Reflexin para la interface Vidrio-Aire 1.0 ngulo Crtico r .5 Reflexin Total interna 0 ngulo de

Brewster -.5 ngulo crtico -1.0 0 30 r|| 60 90 Angulo de incidencia, i Transmitancia (T) 2 c I n 0 0 E0 2 T Potencia transmitida / Potencia Incidente Si el rayo tiene un ancho wi: wi ni nt I t At

I i Ai i t At wt cos(t ) Ai wi cos(i ) wt 2 0 c0 n E 2 t 0t n E wt nt wt 2 I t At wt 2 t 0t T t

2 2 I i Ai 0 c0 wi ni E0i wi ni wi n E i 0i 2 nt cos t 2 T t ni cos i A = Area Ya que E0t 2 E0i 2 La Transmitancia se llama tambin Transmisividad. t 2

Reflectancia (R) R Potencia reflectada/ Potencia incidente wi ni nt i r I r Ar I i Ai 2 c I n 0 0 E0 2 A = Area wi Dado que el ngulo de incidencia = ngulo de reflexin, el rea del rayo no cambia en la reflexin. Tambin, n es el mismo para ambos rayos ya que estn en el mismo medio. As: R r 2 La Reflectancia se llama tambin Reflectividad. Reflectancia y Transmitancia para una

interface Aire-Vidrio Polarizacin Perpendicular 1.0 Polarizacin Paralela 1.0 T .5 T .5 R 0 0 30 60 90 0 R 0 ngulo de Incidencia, i Note que 30

60 90 ngulo de Incidencia, i R+T =1 Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Polarizacin Perpendicular 1.0 Polarizacin Paralela 1.0 R R .5 .5 T 0 0 30 T 60 90

0 0 ngulo de Incidencia, i Note que 30 60 90 ngulo de Incidencia, i R+T =1 Reflexin con incidencia normal Cuando i = 0, y nt ni R n n i t T 2

4 nt ni nt ni 2 Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt = 1.5), R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la direccin en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotogrficos. Cambio de fase para la Reflexin de luz polarizada perpendicularmente r E0 r / E0i ni cos(i ) nt cos(t ) ni cos(i ) nt cos(t ) ni nt When i 0, r Cuando ni nt to glass , r 0 Si If ni nt air Aire-vidrio ki Bi Ei

Er kr Br i r ni Interface t Et Bt kt Entonces habr interferencia destructiva entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia ser constructiva. nt Cambio de fase para la Reflexin de luz polarizada perpendicularmente r E0 r / E0i ni cos(t ) nt cos(i ) ni cos(t ) nt cos(i ) ni nt

When i 0, r Cuando ni nt Si If ni nt (air to glass), r 0 Aire-vidrio ki kr Br Ei Bi i r Er ni Interface t Et Bt kt Esto significa que habr interferencia destructiva con el rayo incidente. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r|| > 0, habr interferencia constructiva. nt

Grficas del cambio de fase para la reflexin reflection (aire - vidrio) ni < nt 180 para todos los ngulos 0 0 30 60 90 ng de incidencia 180 para ngulos menores al ngulo de Brewster'; 0 para ngulos mayores || 0 0

30 60 90 ng de incidencia Grficas del cambio de fase para la reflexin reflection (vidrio - aire) nt < ni Cambia la fase por encima del ngulo crtico 0 0 30 60 90 ng de incidencia || 0

0 30 60 90 ng de incidencia 180 para ngulos por debajo de ang de Brewster; 0 para valores mayores Reflexin Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(t) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre RIT) as it grazes the surface. ngulo de Brewster Reflexin Total interrna RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada. Fibras Opticas Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas distancias. Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas Estructura de las fibras pticas Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que se conduce la luz Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core Buffer coating: Film protector plstico

ncore > nclad Propagacin de la luz en una fibra ptica La luz viaja a travs del core rebotando entre las paredes reflectantes. Esto le permite viajar a la luz grandes distancias sin prdidas en la seal. Alguna seales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado en la contruccin de la fibra. Las mejores fibras pticas mustran muy poca prdida menos de 10%/km en 1,550 nm. Reflexin Total Interna Frustrada (RITF) Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que ocurre RIT, la reflection total interna puede ser frustrada. Reflexin total interna n=1 n n Reflexin total interna frustada n=1 n n Cun cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF? Este efecto provee evidencia acerca de los campos evanescentes El vector de onda k de la onda evanescente El vector de onda k de la onda evanescente tiene componentes x e y : Paralelo a la superficie: ktx = k sin(t) Perpendicular a sta: kty = k cos(t)

ki i y x t kr kt Usando la ley de Snell, sin(t) = (ni /nt) sin(i), as ktx tiene sentido. y nuevamente: cos(t) = [1 sin2(t)]1/2 = [1 (ni /nt)2 sin2(i)]1/2 = i Despreciando la solucin sin sentido fsico -i, obtenemos: Et(x,y,t) = E0 exp[ky] exp i [ k (ni /nt) sin(i) x t ] La onda evanescente decae exponencialmente en la direccin transversal. ni nt

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