Diapositive 1 - High-Tech

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HIGH-TECH 3me anne Gnie Informatique Thorie du Signal Prof. : N. SBITI Anne 2009/2010 1 Plan du cours Introduction Chapitre 1 : Transforme de Laplace Chapitre 2 : Convolution Chapitre 3 : Transforme de Fourier Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Chapitre 5 : Systmes linairesExemples de systmes de base Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des SLI 2 Thorie du signal Introduction Signal :

Manifestation physique dune grandeur mesurable : Extension : signaux bidimensionnels (image par ex) Bruit : 3 Thorie du signal Introduction Thorie du signal : Traitement du signal : 4 Thorie du signal Introduction Classifications : Signaux dterministes continus et

discrets (fonction certaine du temps) Signaux alatoires continus et discrets OU Signaux continus (dterministes et alatoires) Signaux discrets (dterministes et alatoires) OU (classification nergtique) Signaux nergie finie Signaux puissance moyenne finie (pour la modlisation de phnomnes permanents) 5 Thorie du signal Introduction

Echantillonnage des signaux continus (discrtisation du temps) Amplitude continue Temps continu Amplitude discrte Signal analogique Signal quantifi t Temps discret t Signal chantillonn t Signal numrique ou

digital t 6 Thorie du signal Introduction Notion de systme : e s Relation entre/sortie Schma-bloc Systme : Etat du systme : Observation : 7

Thorie du signal Introduction Exemple lectrique : cellule RC Tension R u dentre Tension C y de sortie Exemple mcanique : levier Entre u Force/ l2 Force/

l1 dplacement Sortie y Exemple hydraulique: dplacement pneumatique cascade / rservoir p1 V p2 p

f1 f2 Entres : p1, p2 pressions fluide f1, f2 ouvertures vannes Sortie : p pression rservoir Thorie du signal 8 Introduction Modlisation signaux et systmes : Modle dun signal : Exemples : Echelon unit (ou d Heaviside) Porte ou fentre rectangulaire Impulsion de Dirac Signal causal : 9

Thorie du signal Introduction Modle dun systme : Exemples : R u Entre u C y l2 l1 Sortie y 10 Thorie du signal Introduction

Classification des systmes : Systmes linaires, systmes non linaires : Un systme linaire obit au principe de superposition Si Alors : u= Exemples : y= dy(t) + a y(t) = b u(t) dt dy(t) + a y(t) = b(t) u(t) dt y(t) = u(t) n m diu(t) diy(t) ai(t) = bi(t)

dti dti i=0 i=0 11 Thorie du signal Introduction Systmes stationnaires, systmes non stationnaires: Un systme stationnaire (invariant dans le temps) satisfait au principe de permanence : Si u(t) Alors : t 0 t 0

y(t-) u(t-) y(t) t t Exemples : dy(t) + a y(t) = b u(t) dt dy(t) + a y(t) = b(t) u(t) dt y(t) = u(t) Thorie du signal 12 Introduction

Systmes linaires et stationnaires (SLS) Modle des SLS monovariables : O n m n m ralisabilit physique du systme n : ordre du systme SLS causal : 13 Thorie du signal Introduction Progrs considrables de linformatique, prouesses technologiques, baisses de prix : Algorithmes numriques "temps rel" (Micro-contrleurs, Microprocesseurs) Avantages du numrique : Applications courantes :

14 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 Chapitre 1 Transforme de Laplace bilatrale 15 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 Transforme de Laplace bilatrale Soient : p = + j variable complexe x(t) fonction relle X(p) =

Condition suffisante d existence : convergence absolue 16 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 X(p) converge absolument dans D= { 1< Re(p) <2 } D: Im(p) 1 0 2 Re(p) Dfinition : Transforme de Laplace bilatrale de x(t) :

17 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 Reprsentation temporelle Reprsentation frquentielle Exemples: x(t) - e-t si t < 0 0 si t 0 0 si t < 0 e-t X(p) (1, 2) si t 0 18 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 Cas particulier important: Transforme de Laplace monolatrale Inversion de la transforme de Laplace Calcul par la mthode des rsidus En pratique : Tables de transformes et proprits de la TL 19 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2 Proprits de la

transforme de Laplace Notations : TL x(t) X(p) sur (1, 2) et Proprits y(t) TLY(p) sur (1, 2) Transforme de Laplace Linarit Changement dchelle en t Translation en t Translation en p Drivation par rapport t Drivation par rapport p 20 Thorie du signal Chapitre 1 : TL2

Thorme de Parseval + Soit x(t) de carr sommable ( |x(t)| dt < +x(t)|x(t)| dt < + dt < + - Thorme de la valeur initiale Thorme de la valeur finale 21 Thorie du signal Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Chapitre 2 Convolution Impulsion de Dirac 22 Thorie du signal Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac

Convolution Cas continu Soient x(t) et y(t) Produit de convolution (sil existe): c(t) = x(t) y(t) = Condition suffisante dexistence : Quelques proprits : 23 Thorie du signal Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Transforme de Laplace dun produit de convolution Soient: x(t) y(t)

TL TL X(p) Y(p) (1, 2) (1, 2) TL(x(t)y(t)) = 24 Thorie du signal Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Unit de convolution Cas continu : ? y(t) tq : y(t) x(t) = x(t) y(t) = x(t) x(t) La solution nest pas une fonction mais une distribution appele distribution de Dirac et note (t). Elment neutre du produit de

(t) convolution. t 0 Thorie du signal 25 Chapitre 2: Convolution- Impulsion de Dirac Quelques proprits : + 1 = () d = - + + (t-a) x(t) = (-a) x(t-) d = () x(t--a) d - - = (t)(t) = (0) (t) car t 0 (t)=0 si t<0 t () dDistribution de Heaviside - si t >0 note H(t) ou u(t) ( x(t)) = Plus gnralement : 26 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier Chapitre 3 Transformation de Fourier 27 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier 3-1Transforme de Fourier

continue des fonctions de carr sommable : Soit x(t) de carr sommable sur ( x(t)dt existe) : Transforme de Fourier de x(t) : X(f)=TF (x(t)) X(f) = Transforme de Fourier inverse de X(f) : x(t)=TF1 (X(f)) x(t) = Dualit entre espace temps et espace frquence 28 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier Ces intgrales sont prises au sens quadratique : Xa(f) +a

x(t) e -a x(t) est dfinie par : dt lim |x(t)| dt < +Xa(f)-X(f)|x(t)| dt < + df = 0 X(f) est dfinie par : xa(t) -2jft a +a X(f) e +2jft

-a df + lim |x(t)| dt < +xa(t)-x(t)|x(t)| dt < + dt = 0 a - Egalit de Parseval 29 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier Remarque : La transforme de Fourier est un cas particulier de la transforme de Laplace bilatrale prise pour p = Soit X(p) = TL(x(t)) sur (1,2). X(f)

existe et peut tre calcule en remplaant p par dans X(p), condition que ( = ) appartienne au domaine de convergence de X(p). 30 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier 3-2Transforme de Fourier de distributions On montre (thorie des distributions) que: TF( (t)) = TF(1) = TF(e2jf0t) = TF((t-t0) ) = Application : TF(cos(2f0t)), TF(sin(2f0t))

31 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier 3-3 Transforme de Fourier des fonctions priodiques Soit x(t) priodique de priode T0. x(t) dveloppable en srie de Fourier: x(t) = avec cn = Or TF(e2jnt/T0) = (f- Tn ) 0 X(f) = La transforme de Fourier dune fonction priodique est Exemple 32 Thorie du signal

Chapitre 3: Transformation de Fourier Extension du dveloppement en sries de Fourier des distributions : Cas du peigne de Dirac Soit x(t)= priodique de priode T0. x(t) dveloppable en srie de Fourier: x(t) = avec cn = X(f) = Formule sommatoire de Poisson La transforme de Fourier dun peigne de Dirac est 33 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier 3-4Quelques proprits Parit : x(t) relle paire X(f) x(t) relle impaire X(f)

Cas gnral : x(t) relle Antisymtrie : si TF(x(t)) = X(f) alors 34 Thorie du signal Chapitre 3: Transformation de Fourier 3-5 Autres proprits: Convolution Linarit Changement dchelle en t Translation en t Translation en f Drivation par rapport t Intgration par rapport t Drivation par rapport f 35

Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Chapitre 4 Signaux dterministes temps continu 36 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu 4-1Exemples de signaux usuels Impulsion / porte rectangulaire Impulsion / porte triangulaire 37 Thorie du signal

Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Signal exponentiel dcroissant Signal oscillatoire exponentiel dcroissant 38 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Signe Echelon unit Impulsion de Dirac 39 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Signaux priodiques x(t + t0) = x(t)

t motif de x(t) rptitions de y(t) 1 y(t) = triT1(t) Non causal Pair -T0/2 -T1/2 1 -T0 -T0/2 -T1/2 0 +T1/2 +T0/

2 t x(t) 0 +T1/2 +T0/ 2 t T0 40 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu 4-2Reprsentation temporelle de signaux rels Signal certain continu : Support temporel de x(t) supp x(t) : 1re classification : selon le support

Signaux support born (dure fini Signaux support infini () Signaux support born gauche (ou droite) 41 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu 2me classification : nergtique E = Signaux nergie finie < Exemple : calcul de lnergie de quelques signaux usuels Signaux puissance moyenne finie 1 +T P = lim 0 T0 2T0 -T0 Exemple : Calcul de la puissance de x(t) = A sin 2ft Les signaux puissance infinie nont pas de ralit physique 42 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu 4-3Reprsentation spectrale x(t) rel nergie ou puissance finie : reprsentation spectrale (ou spectre) de x(t) Rappels : X(f) = A(f) + j B(f) A(-f) = A(f)

B(-f) = -B(f) |x(t)| dt < +X(f)|x(t)| dt < + pair Arg (X(f)) impair x(t) pair X(f) rel, donc pair x(t) impair X(f) imaginaire pur, donc impair f<0 : pas de signification physique Support spectral de X(f) supp X(f) : 43 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Spectres continus Signaux et nergie Ex: Fentre rectangulaire PT0(t) x(t) = PT0(t) 1 TF -T0 +T0 Spectres discrets (spectre de raies) Signaux Ex: . x(t) = a0 + a cos 2f0t X(f) = x(t) a0 TF 44 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Spectres borns Signaux de dure Ex : sinus cardinalx(t) = 2F0

sin2t F0 2t F0 x(t) 2F0 t TF 2F0 Spectres infinis Signaux de dure ou parfois Rq : un signal de dure finie a ncessairement un support spectral infini Ex : fonction porte (fentre) Peigne de Dirac TF TF

45 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu 4-4Densit spectrale et fonction dautocorrlation Signaux nergie finie E = x(t) dt = Parseval Exx(f) = |x(t)| dt < +X(f)|x(t)| dt < + est une en fct de f Exx est positive ou nulle, paire, donc : E = On montre que TF-1(|x(t)| dt < +X(f)|x(t)| dt < +) = = xx() xx() : fonction d autocorrlation de x(t) Remarque : xx() = = Exemple 46 Thorie du signal Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu Signaux puissance finie Soit x(t) puissance finie P= Soit xT0(t), le signal x(t) tronqu sur [-T0,T0] xT0(t) = T0, on peut calculer XT0(f) et appliquer le th. de Parseval (xT0(t) est nergie finie) 1 +T0

2T0 -T x(t) dt = 0 : Densit spectrale de puissance sur [-T0,T xx(f) = lim T0 + et est tq- xx(f) df = xx(f) : 47 Thorie du signal xx Chapitre 4 : Signaux dterministes temps continu () : Fonction dautocorrlation du signal x(t)

xx() = Thorme de Wiener Kintchine Remarque : xx() = Exemple Extension : Intercorrlation Densit spectrale mutuelle Exemple 48 Thorie du signal Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base Chapitre 5 Systmes linaires Exemples de systmes de base 49 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base

Exemples de systmes de base 5.1. Systmes du 1er ordre Modle (forme normalise) T dy(t) dt + y(t) = K u(t) T : constante de temps K : gain statique Exemple lectrique : cellule RC R RC dy +y = u dt u y C

T = RC ; K = 1 50 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires :Exemples de systmes de base 5.2. Systmes du second ordre : Modle (forme normalise) 1 d2y(t) dt2 dt2 0 + 2dy(t) dy(t) +y(t)=Ku(t) dt dt 0

0 : pulsation propre : coefficient damortissement K : gain statique Exemple : cellule RLC R u L C y d2y(t) dy(t) + y(t) = u(t) LC + RC dt dt2 dt0= 1 LC ; dy(t) =

R 2 C L ; K=1 51 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base 5.3. Intgrateur : Modle : y(t) = K t u( ) d = 0 1 T t

u( ) d 0 Exemples : - Rservoir coulement forc S Q 1 P H Q2 Q2 = const. (fix par la pompe P) S dH = (Q1-Q2)dt y = H ; u = Q1-Q2 dy dt

= u S 52 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base - Ensemble distributeur-vrin hydraulique u : dplacement du tiroir du distributeur, cest lentre du systme. y : dplacement du piston du vrin, cest la sortie du systme. Pz, Ps : pression dalimentation et de retour, supposes constantes. A : surface du piston. b : largeur de la fentre du distributeur. v : vitesse dcoulement travers la fentre. Le comportement dynamique (autour dun rgime nominal) est dcrit par : T dy

dt =u T= Signaux et systmes A bv 53 Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base 5.4. Drivateur : Modle : Drivateur thorique : y=T y+ Drivateur rel : du dt dy

dt T =T du dt Exemple : Amortisseur hydraulique quilibre des forces : du dy r y = fv ( - ) dt dt r : raideur fv : frottement visqueux T dy dt y=T du dt T=

fv r 54 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base 5.5. Retard pur (temps mort) : Modle : y(t) = u(t-) = const. Exemple : Convoyeur courroie u y v l y(t) = u(t-t) = l v

55 Signaux et systmes Chapitre 5 : Systmes linaires : Exemples de systmes de base 5.6. Gain proportionnel : Modle : y(t) = K u(t) K : gain constant Exemples : R - PotentiomtreV:2 = 2 V1 R1 u=V1 , y=V2 R K= 2 R1 V1 R1 R2 V2

- Engrenage (Transmission rigide) : n1, n2 : nombres de dents 1, 2 : vitesses de rotation n 2 = 1 1 n2 n11, y= 2 u= K= n2 - Vrin pneumatiqueA: qui. Forces : y = u r ry=AP A uK = =P r 56 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes

linaires invariants Chapitre 6 Reprsentation par fonction de transfert des Systmes Linaires Invariants 57 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.1. Reprsentation de base : u(t) y(t) Systme dynamique Systme continu : entre continue et sortie continue Systme linaire (principe de superposition) Systme invariant dans le temps

dny n dt + an-1 dn-1y n-1 dt + ... + a1 dy dt = bm + a0 y dmu m dt + ... + b1

du dt + b0u n m Systme propre ( ralisable physiquement) 6.2. Fonction de transfert : En transformant les deux membres de lquation diffrentielle : Y(p) = G(p) U(p) + I(p) G(p) : fonction de transfert I(p) : conditions initiales Signaux et systmes 58 Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants On obtient lexpression suivante : G(p) = bm pm+ ... + b1 p + b0

pn + an-1 pn-1 + ... + a1 p + a0 = bm =K (p - z1 ) (p - z2 ) ... (p - zm) (p - p1 ) (p - p2 ) ... (p - pn ) (1 + 1p) (1 + 2p) ... (1 + mp) (1 + T1p) (1 + T2p) ... ( 1+ Tnp) z1, , zm zros du systme p1, , pn ples du systme T1, , Tm constantes du temps du systme K gain statique 59 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.3. Proprits immdiates : Une fonction de transfert est dfinie pour un systme linaire et invariant. La sortie dun systme est donne par :

y(t) = L-1 ( G(p) U(p) ) si les conditions initiales sont nulles. La fonction de transfert est indpendante du signal appliqu lentre, u(t). Elle ne dpend que du systme. La fonction de transfert est entirement caractrise par les ples, les zros et le gain b m. 60 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.4. Extension aux systmes multivariables : u1 y1

uq yp Yi(p) = Gi1(p) U1(p) + Giq Uq(p) i = 1, p G(p)11 G1n (p) Y1 (p) = G(p) Y1 (p) G pq (p) p1 Y(p) = U(p) Vecteur sortie U1 (p)

U1 (p) G(p) Matrice Vecteur de transfert entre Signaux et systmes 61 Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.5. Fonctions de transfert des lments de base Type dlment 1er ordre Fonction de trasfert G(p) K 1 + Tp K

2 ordre e 2 p2 1+ p+ 2 0 0 Intgrateur simple ; >0 K p Drivateur rel Tp 1+ p Retard pur e pp ; > 0 ; Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6. Fonctions de transfert de systmes composs 6.6.1. Montage en srie (en chaine, en csacade) : ( s p) 6.6.2. Montage en parallle : 63 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.6.3. Montage retour : ( s p) 64

Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.7. Transformation des schmas blocs : Rgles de base 65 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.7. Transformation des schmas blocs : Rgles de base 66 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants .8. Dtermination de la rponse dun systme : u y

G(p) Schma-bloc (fonctionnel) u(t) = u1(t) un signal donn, mais quelconque. y(t) = y1(t) la rponse du systme u1(t) o y1(t) = L-1 ( G(p) U1(p) ) i) Dcomposer G(p) U1(p) en lments simples G(p) U1 (p) = ii) Ki i (1 + T p)ni + i Ki i pi i Ki

2i p 2 ni (1 + p+ 2) i i Utiliser la table des transformes 67 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.9. Rponse impulsionnelle dun systme LI : Cest la rponse du systme limpulsion de Dirac (t) : u(t) = (t) y(t) : rponse impulsionnelle u(t) = (t) U(p) = 1 y(t) = L-1 ( G(p) U(p) ) = L-1 ( G(p)) = g(t) - La rponse impulsionnelle dun systme est gale

la transforme inverse de sa fonction de transfert. - La rponse impulsionnelle dun SLI caractrise ce systme. SLI entirement causal rponse impulsionnelle causale 68 Signaux et systmes Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.10. Allures de la rponse impulsionnelle en fonction des ples du systme Position des ples Allure de la rponse y(t ) Im x

x Re y(t) Im x Re x G(p) = K p K G(p)= 2 0 2 p 0 x t

K Re Im 0 K x x 0 y(t)=K 1(t) Im Ple simple t 0 Re t y(t)=K sin0t

t -K 2/0 Signaux et systmes 69 Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.11. Rponse dun systme LI en fonction de sa rponse impulsionnelle : Etant donn un SLI de FT G(p) Rponse ipulsionnelle g(t) = L-1 (G(p)) u (t) un signal dentre quelconque. y(t) la rponse correspondante. y(t) = L-1 ( G(p) U(p) )

= L-1 ( G(p)) = g(t) u(t) L-1 (G(p)) Soit : y(t) = g(t) u(t) y(t) = g() u(t-) d = g(t-) u() d y(t) existe et est born en amplitude si g(t) intgrable et u(t) born en amplitude. t g(t), u(t) causaux (systme y(t) = : g(t ) u( )physiquement d

0 ralisable) Signaux et systmes 70 Chapitre 6 : Reprsentation par fonction de transfert des systmes linaires invariants 6.12. Stabilit des systmes linaires : Dfinition - condition gnrale de stabilit: - Dfinition : Un systme linaire est stable si son tat ne diverge pas quand il est abandonn lui-mme (entre = 0). - Stabilit et bornitude entre/sortie : - Stabilit et ples dun systme linaire : Un systme linaire est stable si et seulement si Un systme linaire est stable si et seulement si les tout signal born en entre, correspond un signal ples de sa fonction de transfert sont partie born en sortie, c..d. : u born

y relle strictement ngative. born - Stabilit et rponse impulsionnelle : Un systme linaire est stable si sa rponse impulsionnelle est intgrable (absolument sommable). |x(t)| dt < + g(t) |x(t)| dt < + = |x(t)| dt < + L-1 (G(p) |x(t)| dt < + borne g( ) d < Signaux et systmes 71 Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Chapitre 7 Transforme en Z bilatrale 72 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale

Transforme en Z bilatrale Reprsentation temporelle Reprsentation frquentielle Soient : {xk}k une suite numrique z = r ej une variable complexe Condition suffisante d existence : convergence absol 73 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale X(z) converge absolument dans D= { r1< r Exemples: ak {xk} si k 0 0 si k < 0 0 si k 0 X(z) (r1, r2) -ak si k < 0 ak k ak si k 0 bk si k < 0 a< b 75 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Inversion de la transforme en Z : {xk} X(z)

(r1, r2) TZ X(z) (r1, r2) TZ-1 Calcul par la mthode des rsidus Mthode pratique : X(z) fraction rationnelle pouvant scrire : al0 + a1z + + amzm X(z) =q0+q1z++ qlz + b 0 + b 1 z + + b n zn avec m < n Dcomposition en lments simples et dveloppement en srie, en tenant compte de la couronne de convergence. 76 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Proprits de la transforme en Z Notations : TZ xk X(z) sur (r1, r2) et Proprits TZ yk Y(z) sur (r1, r2) Transforme en Z Linarit Translation Multiplication par k Echelle sur z 77 Thorie du signal

Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Thorme de Parseval + {xk} : suite de carr sommable ( |x(t)| dt < +xk|x(t)| dt < + < + - X(z) = TZ(x(t)) (r1, r2) Thorme de la valeur initiale Thorme de la valeur finale 78 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Cas discret : Soient xk et yk suites numriques Produit de convolution (sil existe) : {ck} = {xk} {yk} Condition suffisante d existence :

y sommable et x borne Quelques proprits : 79 Thorie du signal Chapitre 7: Transforme en Z bilatrale Transforme en Z dun produit de convolution discret Soient: {xk} TZ X(z) (r1, r2) {yk}

TZ Y(z) (r1, r2) TZ({xk}{yk}) = 80 Thorie du signal Chapitre 8 : Convolution discrte- Impulsion de Dirac Cas discret : ? {yk} tq : {yk}{xk}={xk}{yk}={xk} + On doit avoir : xk = yl xk-l l=- xk Soit yl = 0 l 0 et y0 = 1 Do la suite appele : impulsion discrte de Dirac

et note : k yk = k 0 Plus gnralement i si k i 1 si k= i k i 1 0 i k 81 Thorie du signal

Partie A : Rappels mathmatiques Quelques proprits : + k l { } {xk} = { xk-l } = i l=k k i {xk i } = {xi } = i N k=-

k i = si N < i si N > i Echelon de Heaviside 82 Thorie du signal Partie A : Rappels mathmatiques Transformation de Fourier numrique Soit {xk} une suite numrique Soit la srie . o T est un paramtre arbitraire La convergence de cette srie dpend du comportement asymptotique des xk Cas des suites absolument sommab

La srie converge vers X() priodique de priode X() est appele transforme de Fourier numrique de la suite {xk} {xk} X() TF TF-1 X() = {xk} = 83 Thorie du signal Partie A : Rappels mathmatiques Cas des suites de carr somma La srie converge en moyenne quadratique vers X() priodique de priode La transforme de Fourier existe et est rciproque. Elle se calcule comme dans le cas des suites sommables.

Pour que X() existe et soit rciproque, il suffit que Egalit de Parseval: Remarque : La transforme de Fourier numrique est un cas particulier de la transforme en Z bilatrale prise pour z = Soit X(z) = TZ(xk) sur (r1, r2). X() existe et peut tre calcule en remplaant z par dans X(z), condition que 84 Thorie du signal Partie A : Rappels mathmatiques Extension Convergence au sens des distributions vers X() priodique de priode Proprits Convolution {xk}{yk} X() Y() Linarit

Translation Multiplication par k Autres : xk relle paire X() et xk relle impaire X() et Cas gnral : xk relle Re(X()) Im(X()) Thorie du signal 85 Partie B : Signaux certains Chapitre 2 Signaux certains discrets

86 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Reprsentation temporelle de signaux rels Signal certain discret : Support du signal 1re classification : Signaux support born (dure ) Signaux support infini () Ex: Signaux support born gauche (ex : ) 87 Thorie du signal Partie B : Signaux certains

2me classification : nergtique E = Signaux nergie finie Signaux puissance finie P= Ce sont les signaux tels que P < 88 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Reprsentation spectrale Soit xn rel discret nergie ou puissance finie : reprsentation spectrale (ou spectre) de xn Rappels : Remarque : X () = A () + j B () A(- ) = B(- ) = |x(t)| dt < +X()|x(t)| dt < + X() = .priodique () Support spectral de X() est toujours |X()| .. et (1/T) -1/T -1/2T Thorie du signal 1/2T 1/T 3/2T 89 Partie B : Signaux certains Spectres continus Signaux nergie . Ex: . xn 1 -K TF n K-1 Spectres discrets (spectre de raies) Signaux .. (ou .). Ex: x(n) = cos 2n/n0 X() = n 0 x(n) n n0/4

n0/2 n 0 TF 90 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Densit spectrale et fonction dautocorrlation Signaux nergie finie E= Exx() = : densit dnergie en fonction de Exx est positive ou nulle, paire, et priodique de priode 1/T.

On montre que TF-1(|x(t)| dt < +X()|x(t)| dt < +) = : fonction d autocorrlation de xn (= convolution discrte de xi et x-i) Remarque : xx,0 = E = Thorie du signal 91 Partie B : Signaux certains Signaux puissance finie Soit xn puissance finieP = 92 Thorie du signal Partie B : Signaux certains ..: Fonction dautocorrlation du signal x Thorme de Wiener Kintchine

Remarque : xx,0 = P 93 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Transmission dans un systme dynamique linaire discret Systme dynamique ai en sn Systme discret :. Systme linaire (principe de superposition) Systme invariant dans le temps Rponse impulsionnelle Systme entirement caractris par sa rponse un Impulsion de Dirac discrte : ai

Relation E/S : s n = a n en 94 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Donc: sn = sn existe et est born en amplitude si : - ai . c est--dire . - en born en amplitude Systmes physiquement ralisables : ai = 0 pour i < (rp. imp. causale) Alors: sn = Si de plus ei est causal : sn = 95 Thorie du signal Partie B : Signaux certains ..: CNS de stabilit du systme systme stable Remarque : si ai causale, alors A() dphase Transmittance S() = A() E() A() = : transmittance du systme discret Relation E/S : simple spectral dans le domaine

A() priodique (1/T) peut tre obtenu par analyse harmonique propres des systmes harmoniques discrte : linaires Thorie du Si en signal = A0 cos 20nT les sont seules les fonctions fonctions

96 et sn = A cos Partie B : Signaux certains On peut aussi utiliser la transforme en Z : S(z) = avec A(z) = ai z-i = N(z)/D(z) Stabilit A(z) est stable Si A(z) = N(z)/D(z), alors les ples de A(z) sont les racines de D(z) : zi Les modules |x(t)| dt < +zi|x(t)| dt < + (t.q. |x(t)| dt < +z1|x(t)| dt < +<|x(t)| dt < +z2|x(t)| dt < +<...<|x(t)| dt < +zn|x(t)| dt < +) prennent n valeurs distinctes (n+1) domaines de cv : - si |x(t)| dt < +z|x(t)| dt < + < |x(t)| dt < +z1|x(t)| dt < + : ak nul . - si |x(t)| dt < +z|x(t)| dt < + > |x(t)| dt < +zn|x(t)| dt < + : ak nul .. - sinon ak Un systme causal est stable si 97 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Causalit Un systme stable de transmittance A(z) est causal si : 98 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Densit spectrale du signal de sortie Soit un systme stable, avec en un signal d nergie finie S() = A() E() Densit d nergie Si en un signal de puissance finie Densit de puissance ss ,n =

Fonction dautocorrlation du signal de sortie 99 Thorie du signal Partie B : Signaux certains Approximation de la rponse impulsionnelle finie dun filtre : Soit construire un filtre de fonction de transfert A() impose. 1re approche : ak = TF-1 (A()) Mais ak gnralement de dure infinie, et Arg(A()) t.q. ak non causale. On cherche une approximation finie causale: Dcalage temporel et troncature (rectangulaire, Hanning,...) 100 Thorie du signal

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